Pendidikan Matematika: PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

Perpangkatan dan Bentuk Akar

Hai teman-teman, kali ini akan dilanjutkan pembahasan materi Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar.

Setelah pada postingan bagian 1 sudah dibahas sedikit mengenai apa itu pangkat dan akar. Kali ini kita akan mulai membahas lebih lanjut.

Seperti yang sudah disebutkan di bagian 1, bahwa di materi ini ada beberapa pembagian materi, yaitu :

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

1. Bilangan Berpangkat Sederhana
2. Bilangan Berpangkat Nol
3. Bilangan Berpangkat Negatif

B. Bilangan Pecahan Berpangkat
C. Bentuk Akar

1. Operasi Hitung Bentuk Akar
2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

D. Merasionalkan Bentuk Akar

Nah, Mari kita mulai,

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat.

Sebelumnya kalian sudah mempelajari apa yang dimaksud dengan pangkat.
Jadi dapat kalian ketahui bahwa bilangan berpangkat bisa diartikan sebagai :

“Bilangan yang Memiliki Pangkat”

Sebelumnya juga sudah diberi contoh beberapa bentuk bilangan berpangkat,
misalnya $2^3$ , bilangan tersebut merupakan bilangan bilangan berpangkat, dimana 3 adalah bilangan pangkatnya. karena 3 merupakan bilangan bulat, maka $2^3$ disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

1. Bilangan Berpangkat Sederhana.

Perhatikan contoh perkalian berikut:

a. 2 x 2 x 2
b. 3 x 3 x 3 x 3
c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4
d. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Dari ke empat contoh perkalian tersebut dapat dibuat bentuk pangkat sebagai berikut :

a. 2 x 2 x 2 = $2^3$
b. 3 x 3 x 3 x 3 = $3^4$
c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = $4^5$
d. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = $5^6$

Bentuk perpangkatan tersebut memiliki bilangan pangkat bilangan bulat positif.
Bentuk bilangan berpangkat seperti ini lah yang dinamakan dengan bilangan berpangkat sederhana.

Bilangan berpangkat $a^n$ dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut.

Pada bilangan perpangkatan dengan pangkat bilangan bulat, memiliki sifat-sifat berikut ini :
Jika a,b ∈ R dan m,n adalah bilangan bulat positif, maka :

1. $a^m × a^n = a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}, m > n$
3. $(a^m)^n = a^{m \times n}$
4. $(a \times b)^n = a^n \times b^n$

2. Bilangan Berpangkat Nol

Pada pembahasan diatas, pada bilangan perpangkatan dengan pangkat bilangan bulat terdapat sifat

$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}, m > n$

Sifat tersebut untuk nilai m > n,
Bagaimana jika nilai m = n?

$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$

karena m = n, maka,

$\frac{a^m}{a^m}= a^{m-m}$

karena $\frac{a^m}{a^m} = 1$ maka,

$1 = a^0$

Jadi nilai pangkat nol (0) dari sebarang bilangan bulat bukan nol, akan bernilai = 1

3. Bilangan Berpangkat Negatif

Kalian pasti tahu contoh-contoh bilangan bulat negatif, nah untuk bahasan selanjutnya adalah jika bilangan yang menjadi pangkat adalah bilangan bulat negatif. Bagaimanakah hasilnya?

Simak kembali sifat berikut;

$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}, m > n$

Bagaimana hasilnya jika nilai m = 0 ?

Mari kita coba,

$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$

Jika m = 0, maka

$\frac{a^0}{a^n}= a^{0-n}$
$\frac{1}{a^n}= a^{-n}$

Jadi bisa dilihat bahwa jika nilai pangkat dari suatu bilangan adalah negatif, maka berlaku ;

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ atau $a^{n} = \frac{1}{a^(-n)}$

B. Bilangan Pecahan Berpangkat

Pada bilangan pecahan, terdapat sifat perpangkatan yaitu :

Jika a,b ∈ B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:

Jadi $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Sekarang bagaimana jika $a^{\frac{a}{b}}$ ?
Jika kalian ingat, pada pembahasan materi bilangan berpangkat dan bentuk akar bagian 1, telah dibahas mengenai hal ini, coba ingat kembali mengenai soal mencari nilai n dari $36^n = 6$ .

Caranya :
$36^n = 6$
$(6^2)^n = 6^1$ -> kita tau bahwa $6^2 = 36$ , dan $6^1 = 6$
$(6^{2n} = 6^1$
$2n = 1$ -> $2n$ dan $1$ diambil dari nilai pangkatnya.
$n = \frac{1}{2}$
Jadi nilai n = $\frac{1}{2}$

Jadi dapat dilihat bahwa :
$\sqrt[2]{36} = 6$
atau dapat dituliskan
$36^{\frac{1}{2}} = 6$

Dari uraian jawaban diatas dapat disimpulkan bahwa :

Bilangan $a^{\frac{a}{b}}$ dikatakan sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya.

C. Bentuk Akar

Pada bagian 1, kalian sudah diberi gambaran sedikit mengenai akar.
Bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.
Contoh Bentuk akar :

$\sqrt[]{3}$
$\sqrt[]{5}$
$\sqrt[3]{4}$

Bagaimanakah dengan $\sqrt[]{4}$ , $\sqrt[3]{8}$ , dan $\sqrt[]{16}$ ?
Akar-akar tersebut bukanlah bentuk akar, karena ;
$\sqrt[]{4}$ hasilnya adalah 2, karena 2 bukan bilangan irrasional, maka bukan bentuk akar.
$\sqrt[3]{27}$ hasilnya 3, karena 3 bukan bilangan irrasional, maka bukan merupakan bentuk akar.
$\sqrt[]{16}$ hasilnya 4, bukan bentuk akar. kalian sudah tahu kan alasannya? ya, karna 4 adalah bilangan rasional.

Jadi kalian sudah paham bilangan seperti apa yang dinamakan bentuk akar?
Selanjutnya akan dibahas mengenai operasi-operasi bentuk akar.

1. Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, berlaku
$m \sqrt[]{A} + n \sqrt[]{A} = m + n \sqrt[]{A})$
$m \sqrt[]{A} - n \sqrt[]{A} = m - n \sqrt[]{A}$

2. Operasi perkalian bentuk akar
$\sqrt[]{A} \times \sqrt[]{B} = \sqrt[]{AB}$
$m \sqrt[]{A} \times n \sqrt[]{A} = mn \sqrt[{}]{A})$

3. Operasi Pembagian bentuk akar
$\frac{\sqrt[2]{A}}{\sqrt[2]{B}} = \sqrt[2]{\frac{A}{B}}$

4. Merasionalkan penyebut
$\frac{A}{\sqrt[]{B}} = \frac{A}{\sqrt[]{B}} \times \frac{\sqrt[]{B}}{\sqrt[]{B}}$

Itu tadi penjabaran singkat mengenai materi bilangan berpangkat dan bentuk akar. Jika ada pertanyaan, kritik, maupun saran, silahkan komentar dibawah,
Terima kasih..

Sumber :

https://duniamatematika.com/matematika-smp/materi-matematika-smp-kelas-ix-bilangan-berpangkat-dan-bentuk-akar-bagian-2/

UNIVERSITAS PATTIMURA

Pendidikan Matematika

Kamis, 10 Desember 2020

PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog

Label