PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan matematika yang variabel bebasnya berpangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah:

ax² + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R

Dengan: 

·         x adalah variabel dari persamaan kuadrat 

·         a adalah koefisien x²

·         b adalah koefisien x

·         c adalah konstanta

Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar merupakan nilai dari variabel x yang memenuhi persamaan tersebut. Ketika nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai nol. Ada tiga metode dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, yaitu:

1.      Metode Faktorisasi (Pemfaktoran Suku-suku)

Metode ini mudah digunakan jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel model persamaan kuadrat (PK) dan berbagai cara pemfaktorannya:

Saat menggunakan metode ini, pertama harus mengetahui terlebih dahulu model PK yang akan diselesaikan. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran bisa dilakukan dalam bentuk sesuai dengan yang ada di kolom tabel di atas. Untuk mendapatkan nilai p, q, m dan n kalian harus memahami cara memfaktorkan suatu bilangan.

Contoh:

2. Metode Rumus abc

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 didapatkan dari rumus abc berikut:

Sehingga akar-akarnya adalah

 

Contoh:

3. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk ax² + bx + c = 0 diubah bentuk menjadi (x+p)² = q, dengan q > 0 , dan p, q adalah konstanta serta x adalah variabel.

Contoh:

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

D = b² – 4ac 

Dengan ketentuan,

·         Kedua akar nyata dan berlainan (x1 ≠ x2)  <=> D > 0

·         Kedua akar nyata dan sama (x1 = x2) <=> D = 0

·         Kedua akar tidak nyata (imaginer) <=> D < 0

·         D = k², dengan k²= bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional

Contoh:

1.  Diketahui persamaan kuadrat dalam bentuk (m+2)x² + 2mx + (m+1) = 0. Berapa nilai m agar persamaan tersebut mempunyai akar-akar kembar?

Jawab:

D = 0

b² – 4ac = 0

(2m)² + 4 (m+2) (m-1) = 0

4m² – 4 (m² + m – 2) = 0

4m² – 4m² – 4m + 8 = 0

-4m + 8 = 0

-4m = -8

m = -8/-4

m = 2

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

a. Syarat mempunyai dua akar positif

b. Syarat mempunyai dua akar negatif

c. Syarat mempunyai dua akar berlainan tanda

d. Syarat mempunyai dua akar berlawanan

 e. Syarat mempunyai dua akar berkebalikan

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0, mempunyai akar-akar persamaan x1 dan x2. Maka rumus penjumlahan dan perkalian akar-akar adalah;

x1 + x2 = -b/a

x1 . x2 = c/a

Contoh:

Jika salah satu akar persamaan kuadrat x² – 8x + (2m + 1) = 0 adalah 3 kali akar yang lain (x2 = 3.x1). Maka nilai m pada persamaan adalah…

Penyelesaian:

Diketahui:

x² – 8x + (2m + 1) = 0

a = 1, b = -8, c = 2m + 1

Jawab:

x1 + x2 = -b/a = -(-8)/1 = 8

x1 . x2 = c/a = 2m + 1/1 = 2m + 1

x2 = 3.x1

perkalian x1 . x2 = x1 . 3×1

= 3×1²

Berarti, x1 . x2 = (3)²

2m + 1 = 9

2m = 9 – 1

2m = 8

m = 4

Sumber : 

https://coretantintaku860863270.wordpress.com/2019/06/10/materi-persamaan-kuadrat-kelas-x-sma/